一个罐子中有10个红球，20个蓝球，30个绿球，逐个拿出来，问红球全部拿出来的时候，罐子中还剩蓝球和绿球的概率？
解答：就是这60个球排成一列，考察最后一个各个颜色的球的位置，要求顺序是红蓝绿或者红绿蓝的概率。
三个不好直接算，可以用条件概率转化为两种球的比较：
P（红蓝绿）=P（最后一个是绿色的）*P（在此基础上，红蓝两色球中最后一个是蓝色）=30/60*20/30=1/3
同理，P（红绿蓝）=1/4
则红球最先被拿完的概率是7/12
2. A，B轮流扔硬币，A先，如果出现一个HT，则扔出T的人获胜，问A获胜的概率？
解答：这种题目用到一种利用对称性的“角色互换”的思路。
P(A) = P(A|H)/2+ P(A|T)/2
A赢的概率等于A先扔出H然后赢的概率+A先扔出T然后赢的概率
A先扔出T之后，其实就相当于B先扔了，所以P(A|T)=P(B)=1-P(A)
P(A|H) = 1/2 * （1-P(A|H))
因为A扔出H之后，要想赢，只能B也扔出了H，然后这时A就相当于之前A扔出H的B。
综上，P(A)=4/9
3. 俄罗斯转盘问题：枪中有六个子弹，两个人轮流开枪，首先开枪的人死的概率多大？
解答：假设子弹在1号，那么如果第一个人刚开始的时候是对着奇数号，则第一个人死，偶数号则第二个人死，所以概率都是1/2
如果每次一个人开一枪之后都再转一次弹夹，首先开枪的人死的概率？
解答：假设首先开枪的人死的概率是p
p = 1/6 + 5/6 * (1-p)
用到了和上题类似的角色互换的思路，因为如果第一个人第一次没死，就相当于对方变成了第一个人。
如果随机放了两个子弹，第一个人打完没死，问第二个人是重新转一次弹夹更好还是不转更好？
解答：重新转一下的话，死亡概率1/3
不重新转的话，死亡概率2/5
所以应该重新转一下。
如果这两个子弹是挨着的，同样的问题，第二个人是否要重新转一下？
解答：重新转一下的话，死亡概率1/3
不重新转的话，比如子弹在1，2号，第一个人打的在3，4，5，6。所以现在打的是4，5，6，1，死亡的概率是1/4
所以不重新转。
4. 一副扑克52张，分给4人每人13张，问每个人都有A的概率？
解答：可以用和绿皮书第四章（1）第八题类似的方法。
所有牌排成一列，1-13给第一个人，14-26给第二个人这样
那么每个人都有A等价于四个A在1-13，14-26，27-39，40-52各一个
所以概率是1 * 39/51 * 26/50 * 13/49
第一个A随便选，第二个在剩下的3*13个选，第三个在剩下的2*13选，最后一张在最后的13个位置选。
5. 赌徒破产问题：刚开始有i元，到N元或者输光为止。每次的获胜概率都是p，相互独立，问最终输光的概率？
解答：P(i)表示刚开始有i元最后输光的概率
则根据条件概率公式：P(i) = p*P(i+1) + (1-p)*P(i-1) for i>1
然后P(0)=1, P(N)=0
根据递推公式，移项之后得到一个等比数列，然后根据边界条件可以得到结果。更多细节可以参考：
从结果可以看出，如果N趋于无穷大（不输光就一直玩），即使p=0.5最后也一定会输光。
6. 投篮问题：一个运动员投100次，第一次没进，第二次进了，之后第i次投进的概率是之前i-1次的投进比例。问投完100次之后，进了50个的概率？
解答：这个题目前还没发现很直观的方法，需要先算前几项，然后猜测，用数学归纳法证明。投完三次之后，进1，2次的概率都是1/2
投完4次之后，进1，2，3个的概率都是1/3
假设投了i次之后，进1，2，...i-1个的概率都是1/(i-1)
那么投了i+1次之后：
进一个的概率：1/(i-1) * (i-1)/i = 1/i
进2~i-1 (j) 个的概率：1/(i-1) * (j-1)*/i + 1/(i-1) * (i-j)/i = 1/i
进i个和进一个的计算类似
所以概率都是1/i
则投100个之后，进1~99个的概率都是1/99
这个结论很有意思，我们知道如果每次都是独立同概率，投了很多次之后进的球数近似服从正态分布，而当每次的概率都是之前的频率的时候，进的球数就成了均匀分布。
7. 一个路口，任意连续20分钟内至少过一辆车的概率是609/625.问任意五分钟内至少过一辆车的概率？假设没有重叠的时间段是互相独立的。
解答：这个题目可以用泊松过程解答。也可以用二项分布解答，用二项分布的话，假设任意五分钟一辆车都没有的概率是p，则20分钟一辆车都没有的概率是p^4
则p^4 = 1-609/625
p = 0.4
则至少过一辆车的概率是0.6
用泊松过程的话，需要先求出强度，计算稍微繁琐一些。结果应该差不多。
8. 相遇问题：A，B两人都在1点到两点之间随机到地点C，等五分钟后离去，问他们相遇的概率？
解答：高中的几何概型典型题目。画图之后很简单，答案是23/144
9. 一个木棍，随机砍两次，称为三段，问这三段能组成一个三角形的概率？
解答：假设木棍长1，两次截断的位置分别为x, y，则x, y都是0到1的均匀分布
不失一般性可以假设x>y，利用几何概型，这时候总样本空间面积是1/2
而能围成三角形意味着y0.5, x-y
这三个直线围成的面积是1/8
所以概率是1/4
10. 标准正态分布的1，2，3，4阶矩？
解答：用矩母函数。这个可以记忆一下，前四阶矩分别是0，1，0，3
北单在那里买请加店主微信：av616X4
