第五章 Pólya计数理论计算（123）（234）（5）（14）（23）,并指出它的共轭类.解：题中出现了5个不同的元素：分别是：1，2，3，4，5。即|Sn|＝5。（5）（12）（34）的置换的型为1122而Sn中属于1122型的元素个数为个其共轭类为（5）（14）（23），（5）（13）（24），（1）（23）（45），（1）（24）（35），（1）（25）（34），（2）（13）（45），（2）（14）（35），（2）（15）（34），（3）（12）（45），（3）（14）（25），（3）（15）（24），（4）（12）（35），（4）（13）（25），（4）（15）（24）设D是n元集合,G是D上的置换群.对于D的子集A和B,如果存在,使得,则称A与B是等价的.求G的等价类的个数.解：根据Burnside引理，其中c1(ai)表示在置换ai作用下保持不变的元素个数，则有c1(σI)=n;设在σ的作用下，A的元素在B中的个数为i，则c2(σ)=n－2i；若没有其他置换，则G诱出来的等价类个数为l=由0,1,6,8,9组成的n位数,如果把一个数调转过来读得到另一个数,则称这两个数是相等的.例如,0168和8910,0890与0680是相等的.问不相等的n位数有多少个？解：该题可理解为相当于n位数，0，1，6，8，9这5个数存在一定的置换关系对于置换群G={g1,g2}g1为不动点置换，型为1n；为5n；g2置换：（1n）(2(n-1))(3(n-2))…()分为2种情况：n为奇数时 ，但是只有中间的数字是0，1，8的时候，才可能调转过来的时候是相同的，所以这里的剩下的中间数字只能是有3种。

即：个数为3×n为偶数时 ，个数为 该置换群的轮换指标为n为偶数时，等价类的个数l=n为奇数时，等价类的个数l=现有8个人计划去访问3个城市,其中有3个人是一家,另外有2个人是一家.如果一家人必须去同一个城市,问有多少种方案？写出它们的模式.解：令D={d1,d2,…,d8}，其中，d1,d2,d3为一家，d4,d5为一家。R={c1,c2,c3},w(c1)=α,w(c2)=β,w(c3)=γ.f:D→R是一种安排方案。根据题意，做D的一个5分划 {d1,d2,d3},{d4,d5},{d6},{d7},d8},要求f在每块中的元素取值相同。对于{d1,d2,d3}，可以取α3＋β3＋γ3模式；对于{d4,d5 }，可以取α2＋β2＋γ2模式；对于{d6},{d7},{d8}，可以取α＋β＋γ模式.所以，总的模式为（α3＋β3＋γ3）（α2＋β2＋γ2）（α＋β＋γ）3对正立方体6个面用红、蓝、绿3种颜色进行着色,问有多少种不同的方案？又问3种颜色各出现2次的着色方案有多少种？解：正立方体6个面的置换群G有24个元素，它们是：不动的置换，型为16，有一个；绕相对两面中心轴旋转90°，270°的置换，型为1241，有6个；旋转180°的置换，型为1222，有3个；绕相对两顶点连线旋转120°，240°的置换，型为32，有8个；绕相对两边中点连线旋转180°的置换，型为23，有6个。

所以，该置换群的轮换指标为PG（x1,x2,…,x6）=等价类的个数为l=PG(3,3,…,3)= =57下面计算全部着色模式。这里，R={c1,c2,c3}，w(c1)=r，w(c2)=b，w(c3)=g，于是F的全部模式表其中，红色、蓝色、绿色各出现2次的方案数就是上述展开式中r2b2g2项的系数，即有一个3×3的正方形棋盘,若用红蓝两色对这9个方格进行着色,要求两个位红色,其余为蓝色,问有多少种方案？解： 其置换群为： 不动置换：型为 19，1个 沿中间格子及其对角线方向做旋转的置换：型为1323，4个 旋转90°和240°时的置换：型为1142 ， 2个 旋转180°时的置换 型为1124， 1个P(x)=我们设定x为红色，1为蓝色，即转化为求x2的系数对应于19，（1＋x）9中x2项系数为C(9,2)=36；对应于1323，4(1＋x)3(1+x2)3中x2项系数为：4[C(3,2)C(3,0)+C(3,0)C(3,1)]=24；对应于1142 2(1+x)(1+x4)2中x2项系数为0；对应于1124 (1+x)(1+x2)4中x2项系数为C(4,1)=4；故x2的系数为 对正六角形的6个顶点用5种颜色进行着色.试问有多少种不同的方案,旋转使之重合作为相同处理.解：对该正六角形的6的顶点的置换群有12个，它们分别是：不动点置换，型为16，有1个；旋转60°和300°的置换，型为61，有2个；旋转120°和240°的置换， 型为32，有2个； 旋转180°的置换型为23有1个；绕对角连线旋转180°的置换 ，型为1222，有3个；绕对边中点连线旋转180°的置换，型为23，有3个。

所以，该置换群的轮换指标为PG（x1,x2,…,x6）=下面计算全部着色模式。这里，R={c1,c2,c3,c4,c5}，不妨设w(c1)=r，w(c2)=b，w(c3)=g，w(c4)=p，w(c3)=y，于是F的全部模式表其中，用这5种颜色着色的方案数就是上述展开式中r2bgpy, rb2gpy, rbg2py,rbgp2y, rbgpy2项的系数之和，即在一个有7匹马的旋转木马上用n种颜色着色,问有多少种可供选择的方案？（旋转木马只能转动不能翻转）解： 设想另一个正7边形与不动的正7边形完全重合，并且顶点标记相同，那么绕中心旋转（1≤i≤7）角度，使得能够与不动的正7边形重合。它对应的置换是：71 共6个。故其轮换指标为PG(x1,x2,…xn)= 计算全部着色模式为n7时为 一个圆圈上有n个珠子,用n种颜色对珠子着色,要求颜色数目不少于n的方案数是多少?解：（1）不动点置换有一个；（2）绕中心旋转（1≤i≤n）角度，使得能够与不动的环重合。它对应的置换是：n1 共(n－1)个；（3）把n为奇数、偶数分两种情况分析：n为奇数时：沿一颗珠子和其他剩余珠子的平分线绕180°，对应的置换是共n个；n为偶数时：沿珠子平分线绕180°，对应的置换是，共个。

故其轮换指标为PG(x1,x2,…xn)= （n为奇数时）；PG(x1,x2,…xn)= （n为偶数时）；骰子的6个面上分别标有1,2,…,6,问有多少种不同的骰子？解：下面有3种方法求解：方法1 6个面分别标上不同的点数，相当于用6种不同的颜色对它着色，并且每种颜色出现且只出现一次，共有6！种方案。但这种方案经过正立方体的旋转可能会发生重合，全部方案上的置换群G显然有24个元素。由于每个面的着色全不相同，只有恒等置换σI 保持6！种方案不变，即c1(σI)=6!，c1(p)=0（p≠σI）。由Burnside引理知 =方法2 在习题5中已求出关于正立方体6个面的置换群轮换指标，如果用m种颜色进行着色，则不同的着色方案数为严格的说，lm是至多用m种颜色着色的方案数。我们可以计算出l1=1,l2=10,l3=57,l4=240,l5=800,l6=2226。现令ni表示恰好用i种颜色着色的方案数，则由容斥原理知 n1=l1=1方法3 令R={c1,c2,…,c6}，w(ci)=wi(1≤i≤6)。正立方体6个面上的置换群G的轮换指标为PG(x1,x2,…,x6) =于是F的全部模式表为 其中，w1w2w3w4w5w6项的系数就是用6种颜色对6个面着色的方案数，等于将两个相同的白球和两个相同的黑球放入两个不同的盒子里,问有多少种不同的方法？列出全部方案.又问每盒中有两个球的方法有多少种？解： 令D={w1,w2,b1,b2},R={盒1，盒2}，四个球往两个盒子里放的放法是F：D→R。

由于w1,w2是两个相同的白球，b1,b2是两个相同的黑球，由此确定出D上的置换群为G={σI,(w1w2),(b1b2),(w1w2)(b1b2)}其轮换指标为PG(x1,x2,x3,x4) =于是F上的等价类个数为 l=PG(2,2,2,2)= 这9个不同方案分别为 (?，wwbb), ( w,wbb), (b,wwb), (ww,bb), (wb,wb), (wwbb, ?), (wbb,w), (wwb,b), (bb,ww)令w(盒1)＝x，w(盒2)＝y，则F上的全部模式表为 PG(x+y,x2+y2,x3+y3,x4+y4) ==x4+2x3y+3x2y2+2xy3+y4盒1与盒2中各放两个球的方案数是x2y2项的系数，即为3。具体方案为(ww,bb), (wb,wb), (bb,ww)将2个红球和2个蓝球放在正六面体的顶点上,问有多少种不同的方案？解： 正立方体8个点的置换群G有24个元素，它们是：不动的置换，型为18，有1个；绕相对两面中心轴旋转90°，270°的置换，型为42，有6个；旋转180°的置换，型为24，有3个；绕相对两顶点连线旋转120°，240°的置换，型为1232，有8个；绕相对两边中点连线旋转180°的置换，型为24，有6个。

所以，该置换群的轮换指标为PG（x1,x2,…,x6）=下面计算全部着色模式。这里，假设除了红色和蓝色外我们放绿球，则R={c1,c2,c3}，w(c1)=r，w(c2)=b，w(c3)=g，于是F的全部模式表其中，红色、蓝色各出现2次的方案数就是上述展开式中r2b2g4项的系数，即22长为n的透明的方格,用红、蓝、黄、绿4种颜色进行着色,试问有多少种不同的方案？解：问题相当于用r,b,y,g构成长为n的字符串，将从左向右的字符顺序和从右向左的字符顺序看作时相同的，例如，yggrbr和rbrggy看作是相同的。群G：根据 Pólya定理，不同的方案数应为：N＝用两种颜色对正六面体的6个面、8个顶点进行着色,问有多少种不同方案？转动使之一致作为一类处理.解：对正六面体的6个面的置换群设为G，G的循环指数多项式为： P(G)=设正六面体8个顶点的置换群为H，H的循环指数多项式为P(H)=P(GH)=P(G)P(H)=所求的不同等价类数为一个正八面体,用红、蓝两色对6个顶点进行着色；用黄、绿两种颜色对8个面进行着色,试求其中4个顶点为红,两个顶点为蓝,黄和绿的面各4面的方案数.注：正八面体可以看作是正方体的对偶，每一面用中心代表一个顶点，相交于一个顶点的3个面对应过3个中心的三角形，由此构成的6个顶点，8个面的几何图形。

即可得到我们需要的正八面体的形状。解：通过刚才我们的提示可以得到如下结论：可以把问题转换成对于正六面体的顶点和面的着色问题，转换成为要求给这个正六面体着色：用红、蓝两色对6个面进行着色；用黄、绿两种颜色对8个顶点进行着色,试求其中4个面为红,2个面为蓝；黄和绿的顶点各4个的方案数.对正六面体的6个面的置换群设为G，G的循环指数多项式为： P(G)=设正六面体8个顶点的置换群为H，H的循环指数多项式为P(H)=P(GH)=P(G)P(H)=所求的不同等价类数为所得的r4b2y4g4的系数即为所求：=2×7＝14 所以符合题意的方案数为14种。用Pólya定理求多重集合的r圆排列数.解：可转化为有r颗珠子的项链可以着n种颜色的方法数。（1）不动点置换有1个；（2）绕中心旋转（1≤i≤r）角度，使得能够与不动的环重合。它对应的置换是：r1 共(r－1)个；（3）把r为奇数、偶数分两种情况分析：r为奇数时：沿一颗珠子和其他剩余珠子的平分线绕180°，对应的置换是共r个；r为偶数时：沿珠子平分线绕180°，对应的置换是，共个。故其轮换指标为PG(x1,x2,…xn)= （r为奇数时）；==PG(x1,x2,…xn)= （r为偶数时）；=求n个顶点的简单图有多少个？解：简单图指的是过两个顶点没有多于一条的边，而且不存在圈的图形。问题相当于对n个无标志顶点的完全图的条边，用两种颜色进行着色，求不同方案数的问题。比如两种颜色x,y，令着上色y的边从图中消去，得到一n个顶点的简单图。例如3个顶点的无向图，有G={(v1)(v2)(v3)，(v1v2v3)，(v3v2v1)，(v1)(v2v3)，(v2)(v1v3)，(v3)(v1v2)}P(x,y)==x3

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